В теории вероятностей важное место занимает вычисление вероятности суммы событий. Рассмотрим основные формулы и методы расчета для различных случаев.

Содержание

В теории вероятностей важное место занимает вычисление вероятности суммы событий. Рассмотрим основные формулы и методы расчета для различных случаев.

Формула вероятности суммы двух событий

Для любых двух событий A и B вероятность их суммы вычисляется по формуле:

ФормулаP(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Где:
  • P(A ∪ B) - вероятность наступления хотя бы одного из событий
  • P(A), P(B) - вероятности отдельных событий
  • P(A ∩ B) - вероятность совместного наступления событий

Частные случаи

1. Несовместные события

Если события не могут произойти одновременно (A ∩ B = ∅):

ФормулаP(A ∪ B) = P(A) + P(B)
ПримерВероятность выпадения 1 или 6 на игральной кости: 1/6 + 1/6 = 1/3

2. Независимые события

Если наступление одного события не влияет на вероятность другого:

ФормулаP(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A) × P(B)
ПримерВероятность выпадения хотя бы одной решки при двух бросках монеты: 0.5 + 0.5 - 0.5×0.5 = 0.75

Вероятность суммы трех событий

Для трех событий A, B и C формула принимает вид:

ФормулаP(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)

Общая формула для n событий

Для произвольного числа событий используется принцип включений-исключений:

  • Сумма вероятностей отдельных событий
  • Минус суммы вероятностей всех парных пересечений
  • Плюс суммы вероятностей тройных пересечений
  • И так далее, с чередованием знаков

Примеры решения задач

Пример 1: Карты из колоды

Какова вероятность вытащить туза или червовую карту из стандартной колоды (52 карты)?

Решение
  • P(туз) = 4/52
  • P(червы) = 13/52
  • P(туз червей) = 1/52
  • P(туз ∪ червы) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 ≈ 0.3077

Пример 2: Работа приборов

Вероятность отказа первого прибора 0.1, второго - 0.2. Какова вероятность отказа хотя бы одного прибора, если они работают независимо?

Решение
  • P(A) = 0.1
  • P(B) = 0.2
  • P(A∪B) = 0.1 + 0.2 - 0.1×0.2 = 0.28

Практическое применение

Формулы вероятности суммы событий используются в:

  • Страховых расчетах
  • Оценке надежности технических систем
  • Статистических исследованиях
  • Финансовом анализе рисков
  • Теории массового обслуживания

Правильное применение этих формул позволяет точно оценивать вероятности сложных событий, состоящих из нескольких компонентов.

Другие статьи

Как узнать номер карты Тинькофф и прочее