Чему равна сумма квадратов корней уравнения

Сумма квадратов корней алгебраического уравнения является важной характеристикой, которая часто используется при решении математических задач. Рассмотрим методы вычисления этой величины для квадратных уравнений и уравнений высших степеней.

Случай квадратного уравнения

Для квадратного уравнения общего вида ax² + bx + c = 0 с корнями x₁ и x₂ сумма квадратов корней вычисляется по формуле:

• x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂

Использование теоремы Виета

Пример вычисления

Для уравнения 2x² - 5x + 3 = 0:

1. x₁ + x₂ = 5/2 = 2.5
2. x₁x₂ = 3/2 = 1.5
3. x₁² + x₂² = (2.5)² - 2×1.5 = 6.25 - 3 = 3.25

Обобщение для уравнений высших степеней

Для уравнения степени n вида aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₀ = 0 с корнями x₁, x₂, ..., xₙ сумму квадратов корней можно выразить через коэффициенты:

• Σxᵢ² = (Σxᵢ)² - 2Σxᵢxⱼ (для всех i < j)

Кубическое уравнение

Для уравнения ax³ + bx² + cx + d = 0:

Применение в задачах

1. Определение параметров уравнения

Зная сумму квадратов корней, можно находить неизвестные коэффициенты уравнения.

2. Исследование свойств корней

Сумма квадратов используется для анализа действительности и кратности корней.

3. Геометрические приложения

В физике и технике при расчете энергетических характеристик систем.

Специальные случаи

Комплексные корни

Если уравнение имеет комплексные корни z₁ и z₂, то:

• |z₁|² + |z₂|² = (Re(z₁+z₂))² + (Im(z₁-z₂))²

Кратные корни

Для уравнения с кратным корнем x₀ степени k:

• Сумма квадратов равна k·x₀²

Важные замечания

• Сумма квадратов всегда неотрицательна для действительных корней
• Может быть использована для проверки правильности найденных корней
• Тесно связана с другими симметрическими многочленами от корней

Понимание методов вычисления суммы квадратов корней уравнений позволяет эффективно решать широкий класс алгебраических задач и проводить анализ математических моделей в различных областях науки.